2SD Rule (2표준편차 법칙, To understand variability; 가변성을 이해하기?)

Super crunchers(슈퍼크런처, Ian Aires저) 라는 책에 있는 내용 중 2SD라는 용어가 나와서 궁금하던 차에 내용 일부를 정리해 둡니다. 

슈퍼크런처는 기술서적이라기 보다는 교양서적입니다. “직관보다는 데이터분석에 입각한 의사결정에 중점을 두는 것이 옳다”라는 내용인데요.  전문가의 직관에 의존한 의사결정도 좋지만 데이터에 입각한 근거있는 결정도 필요하다는 내용입니다.  데이터마이닝에 관심이 있는 사람은 한 번 읽어봐도 좋을 듯 싶습니다. 어려운 내용은 아닙니다만 생각을 좀 해야 하는 부분은 있습니다.

이 책에 통계에 대한 내용이 나옵니다.

2표준편차법칙(2SD rule)은 책의 후반부에 나오는데 잘 보지 못하던 용어라서 여기저기서 내용을 찾아서 정리해 두려는 것입니다.

정보를 찾다 보니 이미 잘 알려진 내용을 다른 방식으로 표현한 것이고 일반적으로 생활에서 어떻게 쉽게 적용이 가능한지 보여주는 일종의 단편적인 예와 같은 것입니다.

2SD는 어떤 정규분포변수가 그 평균치의 -2 표준편차와 -2표준편차내에 위치할 확률이 95%가 된다는 말입니다. 여기서 ±2SD는 2의 의미는 1.96을 반올림해서 나온 근사치값으로 보입니다. 그래서 ±3SD rule (2.54를 반올림해서 나온것이라고 생각하는데 반올림하기에는 반올림한 차이가 좀  큰 것 같아서 조금 그렇네요)일 경우에는 99% 라고 계산하는 계산식도 자료를 찾던 중 쉽게 찾아 볼 수 있었습니다.

제가 가진 통계학 책들에는 2SD, 3SD라는 용어를 사용하지 않았기 때문에 무슨 용어인가 궁금 했습니다만 생각보다 단순한 것이었습니다. 용어는 저자가 직접 만들어낸 것 같기도 한데 정확하게 저 용어를 사용해도 되는지는 모르겠습니다. 저자가 유명한 사람이고 하다보니 이런 용어 새로 만든다고 해서 뭐라고 할 사람은 별로 없을 것 같습니다. 영문 자료를 찾다 보니 책의 영향인지는 모르겠지만 같은 용어를 쓰는  분들도 더러 있었고 아닌 경우에도 대충 감을 잡을 만한 비슷한 내용을 생각보다 많이 볼 수는 있었습니다. 아래는 찾은 내용들과 책을 정리한 내용을 잊어 버릴까봐 기록해 둔 것입니다.

2SD rule: 정규분포변수가 그 평균치의 +-2표준편차 내에 존재할 확률은 95%이다.

먼저 슈퍼크런처 책에 나와 있는 내용들중 예제를 Q/A형식으로 그대로 조금 거쳐서 적은 것입니다.

책의 질답 내용

Q. 사람의 IQ는 평균이 100이고 표준편차가 15인 정규분포를 따른다. 그러면 사람들의 IQ는 대체 얼마라는 말인가?

A. 2SD 법칙에 의하면 95%의 사람들의 IQ는 70(100에서 2표준편차를 뺀값)에서 130(100에서 2표준편차를 더한 값, 즉 15×2=30) 사이에 존재한다. 2SD 법칙을 사용하면 표준편차값을 분산도에 대한직관적인 표현으로 쉽게 변환할 수 있다. 대부분의 사람들은 IQ가 70 ~ 130사이이다. IQ의 분산도가 더 적다면, 즉 표준편차가 5라면 95%의 사람들을 포함하는 IQ의 범위는 훨씬 작아진다.  다시 말해 95%의 사람들이 IQ가 90과 110사이라고 말할 수 있다.

Q. 유권자 1243명을 대상으로한 퀴니피액대학 여론조사에서, 상원의원 후보자 가운데 캘빈이 52%로 48%인 홉스보다 지지율이 높게 나왔다. 이번 조사의 오차 한계는 +-2% 포인트이다. 캘빈이 당선된다는 말인가? 아니라는 말인가?

A. 오차한계는 2SD에 해당한다. 오차한계가 2%포인트라고 나왔다면 이것은 1표준편차(1SD)가 1% 포인트라는 뜻이다. 우선 캘빈의 표준 지지율 52%에서 오차한계(즉 2SD)를 더하고 빼면 특정한 범위가 나온다. 즉 52 ±2% 이다. 2SD rule에 의하여 캘빈을 지지하는 유권자가 50% ~ 54% 사이일 확률이 95%라는 말이다. 캘빈의 지지율이 50% ~ 54%일 확률이 95%이므로 그의 실제 지지율이 종형곡선(정규분포, Normal distribution의 그래프)의 양쪽 가장자리에 속할 확률, 즉 54%이상 50%이하일 확률은 5%가 된다. 그리고 종형곡선의 양쪽 가장자리 부분은 면적이 동일하므로(정규분포 곡선은 아시다시피 좌우 대칭입니다), 캘빈의 지지율이 50%이하가 될 확률은 2.5%이다. 이는 캘빈이 앞서고 있을 확률이 97.5%라는 뜻이다.

Q. 레이번이 셜리를 51% 대 49%, 오차한계 2%로 앞서고 있는 경우, 신문은 이 경합을 두고 ‘통계적으로 볼 때 막상막하’라고 보도할 것이다. (맞는 말인가?)

A. (하지만) 이건 헛소리다. 레이번의 여론조사 결과는 50%에서 1표준편차만큼 높다(오차한계는 2표준편차이므로 1표준편차는 1%). 따라서 레이번이 앞서고 있을 확률이 84%라는 것을 알게 된다. 별다른 변수가 없다면 레이번의 당선이 유력한 것이다. 누구를 지지할지 결정 못한 사람들과 제3의 후보들이 있기 때문에, 많은 여론조사에서 경합을 벌이는 두 후보의 지지율은 합해도 100%가 되지 않는다. 그러나 지지율 우세 확률은 우리에게 예상 당선자를 말해준다.

※ 그럼 이제 책에 나와 있는 몇가지 정의를 다시 적어 둡니다.

통계적의 유의하다. 통계학자들이 어떠한 결과를 두고 ‘통계적으로 유의하다’ 라고 말하는 경우, 어떤 예측값이 다른 값과 2표준편차 이상 차이가 난다는 것을 뜻한다.

2SD의 또다른 측면 임의변수가 예상 평균값에서 2표준편차 이상 떨어져 있을 확률은 5%가 채 되지 않는다. (2SD rule에 의하면 95%가 평균으로부터의 2SD내에 있으므로 나머지는 5%가 됩니다)

오차범위 오차범위는 신뢰구간이 95%라면 그 95% 바깥쪽 넓이를 말하는 것이 아닙니다. 95%신뢰구간이라고 하면 이 신뢰 구간 안에 포함될 (표본이 아닌 실제값이) 확률이 95%인 것입니다.

다시 말해서 신뢰구간은 ‘확률±오차범위’ 에 포함될 확률이 95% 임을 말합니다. 물론 2SD를 따른다고 하는 경우에 그렇습니다. 아래는 무한모집단에서 표본허용오차 공식 ±1.96sqrt(p(1-p)/n) 또는 Z crit * stdev / sqrt(n) 표본수가 매우 큰 경우 즉, 무한모집단이면 보통 모집단은 정규분포(Normal Distribution, Gaussian Distribution)를 따르는 것으로 가정합니다.  자연계에서 아주 자연스러운 데이터의 확률 분포는 정규분포를 보편적으로 따릅니다. 그리고 샘플링의 경우 중심극한원리 (Central Limit Theorem)에 의해서 표본(Sample)의 양이 충분하다면 정규분포를 따르게 됩니다 여기서 표본 오차를 구하려면 표본집단에서의 표준편차나 모집단의 편차가 필요합니다.

모집단의 표준편차가 없는 경우 표본집단의 표준편차를 이용하게 되는데 보통의 경우 모집단의  표준편차(또는 분산)을 구할 수(알 수) 없는 경우가 대부분입니다. 아래는 여기저기서 긁어 모은 오차범위를 구하는 것에 대한 예제풀이입니다.

(워낙 마구잡이로 긁어오다 보니 출처가 엉망이 되었고 내용을 제가 많이 편집해서 출처는 따로 기재하지 못했습니다. 혹시 문제가 된다면 알려주시면 바로 지우도록 하겠습니다.)

예제

n(표본수) = 1000명 일 경우

보통 여론조사에서 1000명 많이 한다고 합니다. 그러고보니 뉴스에서 1000을 대상으로 했다고 하는 것을 많이 들은 것도 같지요. 하지만 1000명으로 고정되어 있는 것은 아닙니다.

(±)1.96 * sqrt(0.25/1000) = 0.0309. 여기에 100을 곱하면 3.09 1000명일 경우는 표본오차가 대략 (±)3.1% n(표본수) = 600이라면 같은 방식으로 계산해서 (±)4.0%

0.50.5를 하는 이유 여기서 0.50.5는 최대허용오차(중요)로 0.50.5=0.25로 보다 큰 숫자를 가지는 경우는 없습니다. 생각해 보니 진짜 그러네요. 0.1 * 0.9, 0.2 * .08, 0.3 * 0.7, … 모두 0.25보다는 작습니다)

예를 들어 0.4 * 0.6 = 0.24로 0.25보다 작으므로 0.50.5를 두고 최대허용오차라고 합니다. 언론에서 말하는 (±)3.0, (±)4.0 등도 모두 최대허용오차입니다.

1.96을 곱하는 이유 정규분포의 특성에 따르면, 신뢰구간 95%일 경우는 1.96을 곱하고, 99%일 경우는 2.54를 곱합니다. (위에서 말씀드렸지만 2SD(1.96)는 95%이고 3SD(2.54)는 99%입니다) 즉, 확률을 높일 경우 정규분포에서 보는 신뢰구간이라고 정의하는 영역이 넓어지게 됩니다.

위의 예(n = 1000)에서 1.96(95% 신뢰구간) 대신에 2.54(99% 신뢰구간)를 곱하면, 99%의 신뢰구간에서 (+-)4.0%가 됩니다.

추가 설명

보통 지지율이나 여론 조사 등에서 이 오차범위는 1.96*0.25/sqrt(n) 으로 구하는데, 당연히 n이 클수록 이 값이 작게 나오며 표본을 많이 뽑을 수록 오차범위가 줄어들어 좋습니다. 예를 들어보면, A후보가 49% B후보가 46% 지지율을 얻고 오차범위가 ±1.0%라고하면 A후보는 48%~50%의 지지율을 얻고, B후보가 45%~47%의 지지율을 얻을 확률이 95%라는 것이죠.

위의 책에서의 예제와 같은 것입니다. 확률이 두 번 겹쳐서 나오니까 헷갈리지만 그리 어렵지 않습니다. 어쨌든 여기서는 95%신뢰구간 하에서는 A후보가 B후보를 이기고 당선될 것이라고 생각할 수 있죠. A후보의 지지율 중 낮은 영역에 있는 48%가 B후보의 지지율 중 높은 영역에 있는 47%보다 크기 때문에 95%확률로 A후보가 당선된다는 얘기입니다. 물론 5%의 오차가 있기 때문에 아닐 수도 있겠지만 가능성이 적겠지요.

100%신뢰구간은 가능한가?

100% 신뢰구간은 -무한대에서 +무한대가 되어야 해서 현실에서는 성립이 안됩니다.

사용할 수가 없고 구간을 정할 수도 없는 것이지요. 보편적으로 신뢰구간을 정해야 하는 경우 대부분 95%신뢰구간을 사용하고 특별히 더 정확하게 알고 싶은 경우나 투표의 경합지역 같이 민감한 경우는 좀더 신뢰성을 높이기 위해서  99%를 사용하기도 한다고 합니다.

실제로 정규분포를 R이나 Prism, Excel등의 툴들을 이용해서 그래프를 그려 놓고 보시면 이해가 빠르니 시간날 때 한 번 그려보세요

포맷이 깨져서 다시 수정하다보니 틀린 내용이 있어서 일부 교정을 했습니다. 역시 전 멍청한가봐요.